📐 01 章 · 随机过程

🌊 随机过程：从随机游走到协整

布朗运动与 GBM 是期权的地基；马尔可夫链是市场状态机；GARCH 捕捉波动聚集；协整与半衰期是配对交易的数学核心。

# 随机过程# 布朗运动# GARCH# 协整# 均值回复

如果说明白概率论让你能「评估一次下注」，随机过程则让你能「评估一条路径」：价格如何随时间演化、波动如何聚集、价差会不会回来。本篇四个工具在量化里的化身分别是：期权定价、市场状态识别、波动率预测与配对交易。

布朗运动与随机游走：市场不可预测的数学原型

随机游走假说：明天的价格 = 今天价格 + 一个不可预测的随机冲击。其连续时间版本是布朗运动 B(t)：增量独立、增量服从正态、路径连续但处处不可微。

对股价最常用的近似是几何布朗运动（GBM）：dS = μS·dt + σS·dB——收益率（而非价格）服从随机游走。三个直接推论：

  1. 时间缩放 √t：波动率随持有期的平方根增长——月波动 ≈ 日波动 ×√21。风险预算跨周期换算全靠它；
  2. 期权定价的地基：Black-Scholes 公式就是在 GBM 假设 + 无套利下推导的（见衍生品 ）；蒙特卡洛模拟的第一课就是生成 GBM 路径（见蒙特卡洛 ）；
  3. 有效市场的参照系：完全随机游走意味着技术分析无利可图。实证上价格接近但不等于随机游走——动量、均值回复等微小偏离，正是量化策略试图收割的对象（见有效市场假说 ）。量化的自我定位应该是：在随机游走的背景噪声里，寻找并验证统计上站得住的微小偏离。

马尔可夫链：给市场装一个状态机

马尔可夫性：未来只依赖当前状态，不依赖历史路径。把市场离散成状态（如「低波动牛市 / 高波动熊市 / 震荡市」），估计转移矩阵 P（P[i][j] = 从状态 i 下一期到状态 j 的概率），就得到一个可计算的市场模型：

  • 状态驻留时间：牛市平均能持续多久？= 1/(1 − P[牛→牛])。若 P[牛→牛] = 0.95，平均驻留 20 个月；
  • 长期平稳分布：不管从哪里出发，长期落在各状态的比例收敛——用于评估策略在不同 regime 的暴露配比；
  • 策略切换的开关：趋势策略在「趋势状态」开、均值回复策略在「震荡状态」开——用转移概率而非肉眼判断切换（工程化见策略组合与 Meta-Strategy ）。

连续状态的升级版是隐马尔可夫模型（HMM）：状态（regime）本身观测不到，只能通过收益/波动的分布「感觉到」——HMM 识别 regime 是量化私募的常见配置（见聚类与 Regime 识别 ）。注意马尔可夫性是个假设：现实市场有长期记忆（波动聚集、动量），用它时要靠扩状态（把「上一期波动」也纳入状态）来逼近。

GARCH：波动率是可预测的

收益几乎不可预测，但波动率可以——波动聚集（大波动跟着大波动）是金融数据最稳定的经验规律之一。GARCH(1,1) 把它写成：

σ²ₜ = ω + α·ε²ₜ₋₁ + β·σ²ₜ₋₁

昨日收益冲击（ε²）与昨日波动预测各按权重汇入今日波动。参数含义与典型量级（日频）：α ≈ 0.05–0.15（新冲击的即时影响）、β ≈ 0.85–0.94（惯性的持久度）、α+β < 1（平稳性）；α+β 越接近 1，波动冲击消退越慢（半衰期 ≈ ln(0.5)/ln(α+β)）。

交易中的三个化身：

  1. 波动率择时与目标波动：用 GARCH 预测下期波动，动态调整仓位维持组合波动恒定（vol targeting）——CTA 与风险平价的标准配件（见时序策略 ）；
  2. 风控输入：VaR 的 σ 不用静态历史值而用 GARCH 预测，能立刻反映市场紧张度的变化（见风险度量 ）；
  3. 期权定价与对冲：BS 公式的 σ 输入用 GARCH 预测而非历史平均，更贴近隐含波动的变化（见期权与波动率策略 ）。

协整配对：两条价格与一条围绕均值回复的价差

均值回复与协整：配对交易的数学地基

均值回复：价格偏离「锚」后有回到锚的倾向。数学化是 OU 过程（Ornstein-Uhlenbeck）：dx = θ(μ − x)dt + σdB——被拉回 μ 的力量与偏离成正比。它给出的两个可交易数字：

  • 半衰期 = ln(2)/θ：偏离收敛一半所需的期望时间。θ 的估计来自对 Δxₜ = α + β·xₜ₋₁ + εₜ 的回归（β = −θ·dt）。半衰期决定你的持有周期与止损宽度：半衰期 10 天的价差，用日内频率去交易是浪费，用月频去持有是迟钝；
  • 回复力度 vs 噪声：θ 大而 σ 小的价差才值得做——统计上就是 Hurst 指数 < 0.5 或方差比检验显著小于 1。

协整解决「什么才是真锚」的问题：两个各自非平稳（单位根）的价格序列 I(1)，若存在线性组合 spread = y − βx 是平稳的（I(0)），则称 y 与 x 协整——它们被一个长期均衡关系绑定（如同行业的两家公司共享的需求与技术冲击），短期偏离会回归。

检验与建仓的标准流程（Engle-Granger 两步法）：

  1. 对 y 与 x 各做 ADF 检验，确认都是 I(1)（见平稳性与单位根 ）；
  2. OLS 回归 y = α + βx，对残差（即 spread）做 ADF 检验：拒绝单位根 → 协整成立；
  3. 以 spread 的滚动均值 ±k·标准差作为开仓/平仓阈值，β 就是两只股票的对冲比例（1 股 y 对 β 股 x）。

协整的死亡方式比数学更值得记：均衡关系本身会断裂——重组、政策、商业模式分化会让 β 失效甚至关系消失（原油-成品油价差在出口政策变化时的崩溃）。所以实盘配对必须配协整状态监控（滚动 ADF、β 稳定性、半衰期漂移），价差「回归失败」到第 N 天无条件认错（纪律模板见统计套利 与事后风控 ）。

关联阅读：蒙特卡洛模拟 把 GBM 变成可计算的路径；GARCH 之外基于已实现波动率的路线见风险度量 ；配对交易实操 是本篇的工程完整版。